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Estratégia de inversão de formas de onda completa para densidade no domínio de freqüência.

Inversão da forma de onda sísmica a partir de parâmetros de fratura.

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2018 Catálogo Geral Enerdis by CHAUVIN ARNOUX GROUP - issuu.

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Pesquisa e descoberta.

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Estratégia de inversão de forma de onda completa para densidade no domínio da frequência.

Woodon Jeong,

Departamento de Engenharia de Sistemas de Energia, Universidade Nacional de Seul, 599 Gwanak-ro, Gwanak-gu, Seoul 151 & ndash; 744, Coreia. Procure mais artigos deste autor.

Ho-Yong Lee,

Korea National Oil Corporation, 1588-14, Gwanyang-dong, Dongan-gu, Anyang, Gyeonggi 431 & ndash; 711, Coréia. E-mail: cap250 @ naver Procure por mais artigos deste autor.

Dong-Joo Min.

Departamento de Engenharia de Sistemas de Energia, Universidade Nacional de Seul, 599 Gwanak-ro, Gwanak-gu, Seoul 151 & ndash; 744, Coreia. Procure mais artigos deste autor.

Publicado pela primeira vez: 24 de janeiro de 2018 Histórico completo de publicação DOI: 10.1111 / j.1365-246X.2018.05314.x Ver / salvar citação Citado por (CrossRef): 0 artigos Verifique se há atualizações.

Para interpretar corretamente as estruturas subterrâneas, deve-se considerar a propagação da onda elastica. Como a mídia elástica é descrita por mais parâmetros do que a mídia acústica, a inversão da forma de onda elástica é mais provável de ser afetada por mínimos locais do que a inversão da forma de onda acústica. Em uma inversão de forma de onda elástica convencional, as velocidades de ondas P e S são devidamente recuperadas, enquanto que a densidade é difícil de reconstruir. Por esse motivo, a maioria dos estudos elásticos de inversão de formas de onda assumem que a densidade é corrigida. Embora tenham sido desenvolvidos vários algoritmos que tentam descrever adequadamente a densidade, seus resultados ainda não são satisfatórios.

Neste estudo, propomos uma estratégia de inversão da forma de onda elástica de dois estágios para recuperar a densidade adequadamente. O Lam & eacute; As constantes são primeiro recuperadas enquanto a densidade de espera é fixa. Enquanto o Lam & eacute; Constantes e densidade não são corretas sob essa hipótese, as velocidades obtidas usando estas Lam & eacute incorretas; Constantes e densidade constante podem ser confiáveis. Na segunda etapa, atualizamos simultaneamente a densidade e Lam & eacute; constantes usando as equações de onda expressas através de velocidades e densidade. Enquanto a densidade é atualizada seguindo o método convencional, o Lam & eacute; as constantes são atualizadas usando o gradiente obtido aplicando a regra da cadeia. Entre várias estratégias de seleção de parâmetros testadas, apenas esta estratégia oferece soluções confiáveis para velocidades e densidade. Nosso algoritmo elástico de inversão de formas completas é baseado no método do elemento finito e na técnica de backpropagation no domínio da freqüência. Demonstamos nossa estratégia de inversão para o modelo de Marmousi-2 modificado e o modelo de sal SEG / EAGE. Os exemplos numéricos mostram que esta nova estratégia de inversão aumenta os resultados de inversão de densidade.

Informações do artigo.

Formato disponível.

&cópia de; 2018 The Authors Geophysical Journal International & copy; 2018 RAS.

Teoria inversa; Aproximação e análise numéricas; Tomografia sísmica; Sismologia computacional; Propagação de onda.

História da publicação.

Edição on-line: 15 de fevereiro de 2018 Versão do registro on-line: 24 de janeiro de 2018 Aceito 2018 22 de novembro. Recebido 2018 22 de novembro; na forma original 2018 28 de junho.

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Citando Literatura.

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Estratégia de inversão de forma de onda completa para densidade no domínio da frequência.

Woodon Jeong, Ho-Yong Lee, Dong-Joo Min; Estratégia de inversão da forma de onda completa para densidade no domínio da frequência, Geophysical Journal International, Volume 188, Edição 3, 1 de março de 2018, Páginas 1221-1242, https: //doi/10.1111/j.1365-246X.2018.05314.x.

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& # 169; 2018 Oxford University Press.

Neste estudo, propomos uma estratégia de inversão da forma de onda elástica de dois estágios para recuperar a densidade adequadamente. As constantes Lamé são primeiro recuperadas enquanto a densidade de espera é fixa. Enquanto as constantes Lamé e a densidade não são corretas nesta hipótese, as velocidades obtidas usando estas constantes Lamé incorretas e densidade constante podem ser confiáveis. Na segunda etapa, atualizamos simultaneamente densidade e constantes Lamé usando as equações de ondas expressas através de velocidades e densidade. Enquanto a densidade é atualizada seguindo o método convencional, as constantes Lamé são atualizadas usando o gradiente obtido pela aplicação da regra da cadeia. Entre várias estratégias de seleção de parâmetros testadas, apenas esta estratégia oferece soluções confiáveis para velocidades e densidade. Nosso algoritmo elástico de inversão de formas completas é baseado no método do elemento finito e na técnica de backpropagation no domínio da freqüência. Demonstamos nossa estratégia de inversão para o modelo de Marmousi-2 modificado e o modelo de sal SEG / EAGE. Os exemplos numéricos mostram que esta nova estratégia de inversão aumenta os resultados de inversão de densidade.

Introdução.

A delimitação das estruturas subterrâneas e a determinação das propriedades dos materiais são necessárias na exploração de petróleo e gás. Entre várias técnicas de processamento de dados sísmicos, a inversão sísmica e a migração muitas vezes desempenham um papel fundamental na delineação de estruturas subterrâneas e na inferência de propriedades materiais (Tarantola 1984; Pratt et al., 1998; Shipp & Singh 2002; Shin & Min. 2006). Desde o início da década de 1980, numerosos estudos foram dedicados ao desenvolvimento de algoritmos robustos de inversão e migração de formas de onda. Nos estágios iniciais, os algoritmos de inversão e migração de formas de onda completas baseiam-se principalmente na equação da onda acústica e consideram apenas a propagação da onda-P. À medida que os dados multicomponentes se tornaram mais comuns nos últimos anos, a migração sísmica e a inversão com base nas equações de ondas elásticas são usadas para obter informações de subsuperfície mais confiáveis. A inversão de forma de onda completa elástica é praticamente desafiadora porque tem muitos parâmetros interdependentes em comparação com a inversão acústica de forma de onda completa. Por esta razão, a inversão elástica da forma de onda completa é mais provável que fique presa no mínimo local. Para evitar esse problema, a inversão da forma de onda foi realizada sob o pressuposto de que a razão e a densidade de Poisson são fixadas em todo o modelo (Brossier et al., 2009, 2018, Bae et al., 2018, Lee et al., 2018).

Por outro lado, Connolly (1999) enfatizou a importância da impedância elástica em AVO (amplitude versus offset) e análise de propriedades de rocha. Para extrair impedância elástica ou acústica, é necessária informação de densidade, que geralmente é inferida de dados de poço. No entanto, bem, os dados são espacialmente limitados. Se a densidade, além das velocidades de onda P e S, pudesse ser estimada corretamente através da inversão da forma de onda, seria útil na análise de dados sísmicos. No entanto, a densidade é difícil de recuperar adequadamente (Forgues & amp; Lambaré 1997; Choi et al. 2008; Virieux & amp; Operto 2009) quando a informação prévia não é de precisão suficiente. Além disso, estimativas incorretas de densidade degradam a velocidade resulta em uma inversão de forma de onda elástica. Embora vários estudos sobre a inversão da forma de onda elástica tenham tentado estimar a densidade além das velocidades de onda P e S, seus resultados são insatisfatórios, mesmo para dados sintéticos. Enquanto as velocidades de onda P e S foram devidamente recuperadas, a densidade não foi razoavelmente estimada (Mora 1987; Choi et al., 2008; Virieux & amp; Operto 2009; Köhn et al., 2018).

Neste estudo, propomos uma estratégia para a inversão de forma de onda elástica que estima adequadamente as velocidades e a densidade. Em nosso algoritmo, as constantes Lamé e a densidade são resolvidas sequencialmente em duas etapas. Primeiro, as constantes Lamé são recuperadas com densidade fixada em um valor arbitrário. Como a densidade é assumida de forma incorreta, as constantes Lamé também são incorretas, mas as velocidades extraídas dessas constantes e densidades Lamé incorretas podem ser comparáveis aos valores reais. Como resultado, os modelos de velocidade, em vez das constantes de Lamé recuperadas na primeira etapa, são usados para reavaliar as constantes de Lamé e a densidade no segundo estágio. Para atualizar as constantes de Lamé na segunda etapa, aplicamos, de forma reversa, a regra de cadeia utilizada por Mora (1987). Nosso algoritmo de inversão de forma de onda elástica de domínio de freqüência 2-D usa o método de elementos finitos. No algoritmo de inversão, estimamos os parâmetros do modelo e a wavelet de origem usando o gradiente e os métodos de Newton completos, respectivamente (Song et al. 1995; Pratt 1999; Shin & Min. 2006). Os gradientes dos parâmetros do modelo são calculados usando a técnica de backpropagation (Pratt et al., 1998, Shin & Min. 2006) e o método do gradiente conjugado (Fletcher & Reeves 1964), e eles são escalados usando a matriz pseudo-Hessiana (Shin et al., 2001). Nossa estratégia de inversão é aplicada a conjuntos de dados sintéticos para o modelo Marmousi-2 modificado e o modelo de sal SEG / EAGE.

Equação de onda elástica de domínio de freqüência 2-D.

Inversão da forma de onda elástica de domínio de freqüência.

Direção de gradiente.

Nosso processo de inversão é dividido em duas partes: atualizar os parâmetros do modelo e estimar a wavelet de origem. Em geral, a inversão da forma de onda é realizada construindo uma função objetiva com base nos resíduos entre dados modelados e de campo. A wavelet de origem é necessária para calcular os dados modelados, mas a onda de origem exata geralmente é desconhecida. Uma vez que a precisão da wavelet de origem afeta a precisão dos parâmetros do modelo invertido e, vice-versa, os parâmetros do wavelet fonte e do modelo devem ser invertidos em conjunto para obter informações de subsuperfície mais confiáveis. A mesma função objetiva pode ser usada para inversão de formas de onda e estimativa de wavelet fonte, mas os gradientes são diferentes.

Escala e otimização.

Estratégia de inversão para a densidade.

Inversão convencional de formas de onda.

Comparando as expressões finais das eqs (33) - (35) com as das eqs (30) - (32), observamos que elas são exatamente as mesmas que as outras. Este método de atualização de velocidades e densidade é chamado de "Método convencional II".

Köhn et al. (2018) e Köhn (2018) forneceram resultados de inversão numérica gerados usando os métodos de inversão acima mencionados para o modelo Cross-Triangle-Square. Em seus resultados, as densidades invertidas geradas usando o método convencional, desviam um pouco mais das densidades verdadeiras em comparação com as obtidas usando o método convencional II, embora o modelo obtido usando o método convencional II mostre uma ambiguidade maior. Em nossas experiências, as estratégias de inversão que invadem simultaneamente todos os parâmetros do modelo podem fornecer bons resultados para as velocidades; no entanto, essas estratégias não possuem soluções satisfatórias para a densidade, quando os modelos de parâmetros que aumentam linearmente são usados como suposição inicial, possivelmente devido às diferentes sensibilidades da função objetiva para modelar parâmetros ou por problemas de não-singularidade resultantes do grande número de parâmetros. Para superar essa limitação, Tarantola (1986) propôs uma estratégia de seleção de parâmetros baseada na análise de sensibilidade, mas não forneceu exemplos numéricos para um problema de teste complexo.

Estratégia para inversão de densidade.

Neste caso, a densidade é afetada apenas pelas velocidades, e as constantes Lamé são afetadas tanto pelas velocidades como pela densidade. Entre várias estratégias de inversão testadas, esta estratégia é a única que oferece soluções confiáveis para velocidades e densidade.

Exemplos numéricos.

2 Elastic Marmousi - model.

Antes de demonstrar a estratégia de inversão para a densidade, primeiro testamos dois métodos convencionais de inversão da forma de onda para dados sintéticos do modelo Elmousi-2 elástico modificado (Martin et al., 2002). O modelo original de Marmousi-2 possui uma camada de água e velocidades de onda S muito baixas (ou seja, uma alta relação de Poisson), que exige um grande número de pontos de grade. Para evitar sobrecargas computacionais, removemos a camada de água e a parte esquerda e direita do modelo original Marmousi-2. As baixas velocidades de ondas S são substituídas por altas velocidades de ondas S, de modo que a relação de Poisson pode ser fixada em 0,25. A Fig. 1 mostra o modelo verdadeiro com dimensões de 9,2 km × 3,04 km com um intervalo de grade de 0,02 km. Para gerar sismogramas sintéticos que são usados como dados reais, assumimos que os receptores são colocados em todos os pontos nodais e que existem 219 disparos a um intervalo de 40 m. A duração máxima da gravação é de 5 segundos. A assinatura de origem assumida é a primeira derivada da função gaussiana com uma freqüência máxima de 10 Hz. Em cada passo de inversão, estimamos a origem do wavelet e os parâmetros do modelo. Para obter resultados de inversão mais razoáveis, também aplicamos uma estratégia de seleção de freqüência. Três tipos de estratégias de seleção de freqüência podem ser aplicadas: o método discretizado (Sirgue & Pratt 2004), o método de agrupamento de sobreposição (Bunks et al., 1995) e o método de agrupamento individual (Kim et al., 2018). Todos dão resultados igualmente bons, embora a eficiência computacional de cada um seja diferente. Como não consideramos a eficiência computacional em nosso estudo, optamos por aplicar o método de agrupamento de sobreposição. Realizamos a inversão da forma de onda, ampliando as faixas de freqüência em direção a freqüências mais altas em vários passos com um intervalo de freqüência de 0,2, 0,2-2, 0,2-4, 0,2-6, 0,2-8 e 0,2-10 Hz. Na inversão da forma de onda convencional, os parâmetros do modelo são atualizados de forma independente e simultânea, como mencionado anteriormente. Conforme mostrado na Fig. 2, os valores dos parâmetros aumentam com a profundidade no modelo inicial.

O verdadeiro modelo elástico de Marmousi-2 para (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade.

Os modelos iniciais para (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade usada para inverter o modelo Marmousi-2.

As Figs 3 e 4 mostram os modelos invertidos e os perfis de profundidade através deles obtidos usando o método convencional I, que atualiza as constantes Lamé e densidade com base nas eqs (9) e (10). Nas Figs 3 e 4, observamos que, embora as velocidades sejam reconstruídas adequadamente, a densidade é severamente distorcida. O modelo de densidade invertida é semelhante ao modelo verdadeiro, mas seus valores se desviam dos valores reais em todo o modelo. Nas Figs 5 e 6, exibimos os resultados de inversão gerados usando o método convencional II, que atualiza as velocidades e a densidade com base nas equações (28) e (29). Aqui, as velocidades são bem recuperadas, mas a densidade não é devidamente estimada. A Fig. 6 mostra que os valores de densidade invertida se desviam do modelo de densidade real.

Modelos reconstruídos na 800ª iteração usando o método convencional I para o modelo Marmousi-2: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade.

Perfis de profundidade a distâncias de (a) 3 km e (b) 6 km mostrando Velocidade de onda P (painel esquerdo), velocidade de onda S (painel central) e densidade (painel direito) invertidos usando o método convencional I para o modelo Marmousi-2. As linhas contínuas indicam o modelo verdadeiro, e as linhas tracejadas indicam o modelo invertido. As velocidades são mostradas em km s -1, e a densidade é mostrada em g cm -3.

Modelos reconstruídos na 800ª iteração usando o método convencional II para o modelo Marmousi-2: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade.

Perfis de profundidade às distâncias de (a) 3 km e (b) 6 km mostrando Velocidade de onda P (painel esquerdo), velocidade de onda S (painel central) e densidade (painel do lado direito) invertidos usando o método convencional II para o modelo Marmousi-2. As linhas contínuas indicam o modelo verdadeiro, e as linhas tracejadas indicam o modelo invertido. As velocidades são mostradas em km s -1, e a densidade é mostrada em g cm -3.

Considerando que os dois métodos de inversão da forma de onda convencionais produzem modelos de velocidade confiáveis, reestimamos a densidade no segundo estágio, onde os modelos de parâmetros (as constantes Lamé e as velocidades) obtidos na primeira etapa são usados como suposições iniciais, mas não são atualizados. Ao atualizar apenas a densidade no segundo estágio, tentamos melhorar os resultados da densidade. Os figos 7 e 8 mostram os resultados de densidade do segundo estágio obtido usando os dois métodos. Na figura 8, os perfis de profundidade da densidade ainda mostram algumas discrepâncias entre os resultados invertidos e os dados verdadeiros.

Modelos reconstruídos na 500ª iteração na segunda etapa usando (a) Método convencional I e (b) Método convencional II para o modelo Marmousi-2. O modelo de densidade inicial aumenta gradualmente com a profundidade.

Perfis de profundidade a distâncias de 3 km (painel esquerdo) e 6 km (painel direito) mostrando o modelo de densidade invertido na segunda etapa de (a) Método convencional I e (b) Método convencional II para o Marmousi-2 modelo. As linhas contínuas indicam o modelo verdadeiro, e as linhas tracejadas indicam o modelo invertido.

Agora, aplicamos nossa estratégia de seleção de parâmetros ao mesmo modelo. As Figs 9 e 10 mostram os modelos de velocidade de onda P e S que foram invertidos enquanto mantém a densidade fixada a um valor constante de 2 g cm -3 na primeira etapa. Os figos 11 e 12 mostram as velocidades de onda P e S e a densidade estimada no segundo estágio, em que os modelos de velocidade obtidos na primeira etapa e um modelo de densidade crescente são usados como modelos iniciais. Comparando os Figs 11 e 12 com os resultados anteriores mostra que nossa estratégia de seleção de parâmetros produz melhores soluções para a densidade. Os valores de densidade invertida estão mais próximos dos valores verdadeiros do que aqueles obtidos usando as técnicas acima mencionadas, embora existam algumas discrepâncias na parte mais profunda do modelo.

Modelos reconstruídos na 800ª iteração na primeira etapa da nova estratégia para o modelo Marmousi-2: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S. A densidade é fixada em 2 g cm -3.

Profundidade dos perfis às distâncias de (a) 3 km e (b) 6 km mostrando os modelos de velocidade P - (painel esquerdo) e S-ondas (painel direito) obtidos na primeira etapa da nova estratégia para o Marmousi Modelo -2. As linhas contínuas indicam o modelo verdadeiro, e as linhas tracejadas indicam o modelo invertido. As velocidades são mostradas em km s -1.

Modelos reconstruídos na 500ª iteração na segunda etapa da nova estratégia para o modelo Marmousi-2: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade. Os modelos de velocidade de ondas P e S mostrados na Fig. 9 são utilizados como modelos de velocidade inicial. O modelo de densidade inicial aumenta gradualmente com a profundidade.

Perfis de profundidade nas distâncias de (a) 3 km e (b) 6 km mostrando os modelos P - (painel esquerdo) e Velocidade de onda (painel central) e densidade (painel direito) obtidos na segunda etapa de A nova estratégia para o modelo Marmousi-2. A linha contínua indica os valores reais e a linha tracejada indica os valores invertidos. As velocidades são mostradas em km s -1, e a densidade é mostrada em g cm -3.

Modelo de sal SEG / EAGE.

Para demonstrar ainda mais a nossa estratégia de seleção de parâmetros, aplicamos o método de inversão da forma de onda convencional e a nova estratégia para dados sintéticos para a linha AA 'através do modelo de sal SEG / EAGE (Aminzadeh et al., 1997). As dimensões do modelo são 15,6 km × 4,2 km, com um intervalo de grade de 0,02 km. Os modelos de velocidade e densidade de onda S são gerados com base no modelo de velocidade de ondas P. As velocidades S-wave são construídas de modo que a proporção de Poisson seja constante em 0,25. A densidade do fundo é construída usando a fórmula empírica sugerida por Gardner et al. (1974). Para o corpo salino principal, a densidade é definida em 2,2 g cm -3, seguindo House et al. (2000). Os modelos verdadeiros são mostrados na Fig. 13. As velocidades de onda P e S têm intervalos de 1,679-4,45 km s -1 e 0,969-2,569 km s -1, respectivamente, e a densidade varia de 1,98 a 2,44 g cm -3 . Nós modelamos 379 disparos a um espaçamento de 40 m, com receptores em todos os pontos nodais na superfície. A assinatura da fonte é modelada como a primeira derivada da função gaussiana com uma freqüência máxima de 10 Hz. A estratégia de seleção de freqüência também é aplicada para três intervalos de freqüência: 0.167-2 Hz, 0.167-5 Hz e 0.167-10 Hz com um intervalo de 0.167 Hz.

Os modelos verdadeiros para o modelo de sal SEG / EAGE: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade.

Em geral, as estruturas de sal são muito difíceis de recuperar através da inversão da forma de onda, particularmente a zona de baixa velocidade abaixo do corpo de sal. Se usarmos um modelo inicial contendo valores de parâmetros que aumentam gradualmente na inversão, o corpo de sal fica magro e as velocidades abaixo do sal são muito altas. Como as velocidades não são adequadamente recuperadas neste caso, podemos deixar de reconstruir o modelo de densidade, mesmo quando utilizamos a nova estratégia. Assim, usamos as velocidades invertidas por Chung et al. (2018) no domínio de Laplace como uma estimativa inicial para o modelo de velocidade de ondas P (Fig. 14). A inversão da forma de onda do domínio de Laplace pode recuperar estruturas de velocidade de longo comprimento de onda, o que pode fornecer uma boa escolha para um modelo inicial. O modelo inicial de velocidade de onda S é construído a partir do modelo de velocidade de onda P obtido na inversão da forma de onda do domínio de Laplace, assumindo uma proporção constante de Poisson de 0,25. O modelo de densidade inicial aumenta gradualmente com a profundidade. As Figuras 15 e 16 mostram os resultados de inversão gerados usando o método convencional I, que atualiza simultaneamente as constantes Lamé e a densidade. Enquanto as velocidades invertidas são comparáveis aos valores verdadeiros, mesmo para a zona de baixa velocidade abaixo do corpo salgado, as densidades são severamente distorcidas.

Os modelos iniciais para (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade usada para inverter o modelo de sal SEG / EAGE.

Modelos reconstruídos na 800ª iteração usando o método convencional I para o modelo de sal SEG / EAGE: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S e (c) densidade.

Perfis de profundidade nas distâncias de (a) 9 km e (b) 10 km mostrando os modelos P - (painel esquerdo) e S de velocidade de onda (painel central) e densidade (painel direito) invertidos usando o método convencional I para o modelo de sal SEG / EAGE. As linhas sólidas indicam o modelo verdadeiro, as linhas tracejadas indicam o modelo inicial e as linhas pontilhadas representam o modelo invertido. As velocidades são mostradas em km s -1, e a densidade é mostrada em g cm -3.

Quando aplicamos a nova estratégia ao modelo de sal, primeiro invertemos as velocidades enquanto mantém a densidade fixada em 2 g cm -3 na primeira etapa, como é feito para o modelo anterior. Os figos 17 e 18 mostram as velocidades de ondas inversas P e S na 800ª iteração. Comparando a Fig. 17 com a Fig. 15, podemos ver que os modelos de velocidade recuperados na primeira etapa da nova estratégia são ligeiramente melhores que os obtidos usando o método convencional. As Figs 19 e 20 mostram os modelos de velocidade e densidade invertidos na segunda fase. Comparando perfis de profundidade com densidade obtida usando o método convencional e a nova estratégia, descobrimos que a nova estratégia oferece soluções muito melhores do que o método convencional. No entanto, os resultados de inversão para o modelo de sal não são tão bons quanto os do modelo Marmousi-2 devido às velocidades indevidamente recuperadas para o modelo de sal.

Modelos reconstruídos na 800ª iteração na primeira etapa da nova estratégia para o modelo de sal SEG / EAGE: (a) P - e (b) Velocidades de onda em S. A densidade é fixada em 2 g cm -3.

Perfis de profundidade às distâncias de (a) 9 km e (b) 10 km mostrando os modelos de velocidade de P - (painel esquerdo) e de ondulação em S (painel direito) obtidos na primeira etapa da nova estratégia para o SEG / Modelo de sal EAGE. As linhas sólidas indicam o modelo verdadeiro, as linhas tracejadas indicam o modelo inicial e as linhas pontilhadas representam o modelo invertido. As velocidades são mostradas em km s -1.

Depth profiles at distances of (a) 9 km and (b) 10 km showing the P - (left-hand panel) and S - wave (right-hand panel) velocity models obtained in the first stage of the new strategy for the SEG/EAGE salt model. The solid lines indicate the true model, the dashed lines denote the initial model, and the dotted lines represent the inverted model. Velocities are shown in km s -1 .

Reconstructed models at the 450th iteration in the second stage of the new strategy for the SEG/EAGE salt model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density. The P - and S - wave velocity models shown in Fig. 17 are used as the initial velocity models. The initial density model gradually increases with depth.

Depth profiles at distances of (a) 9 km and (b) 10 km showing the P - (left-hand panel), and S - wave velocity (centre panel) and density (right-hand panel) models obtained in the second stage of the new strategy for the SEG/EAGE salt model. The solid lines indicate the true model, the dashed lines denote the initial model, and the dotted lines represent the inverted model. Velocities are shown in km s -1 , and density is in g cm -3 .

These results demonstrate that the new parameter-selection strategy enhances inverted density models compared with conventional elastic waveform inversion, and the accuracy of the inverted density models are dependent upon the inverted velocities from the first stage.

Conclusões.

One of the main problems of elastic full waveform inversion is that it cannot properly describe density. We have developed an inversion strategy to properly recover density through elastic full waveform inversion. Our inversion strategy consists of two stages. In the first stage, Lamé constants are inverted with density fixed, from which we can extract velocity information. In this case, although the Lamé constants and density are incorrect, the velocities can be reasonable. We refer to the unreliable Lamé constants as virtual Lamé constants. In the second stage, both the Lamé constants and density are simultaneously re-inverted based on the velocity information estimated in the first stage. In addition, in the second stage, the Lamé constants and density are updated using the wave equations expressed through velocities and density. To update the Lamé constants, we use a reversed version of the chain rule. Applying the conventional waveform inversion method and the new inversion strategy to synthetic data for the modified version of elastic Marmousi-2 model and the SEG/EAGE salt model, we find that the new inversion strategy recovers more reliable density models than the conventional methods. To obtain accurate density models using the new parameter-selection strategy, accurate velocity models are necessary, which can be obtained by performing elastic waveform inversion with density fixed in the first stage. In this study, we have presented only numerical examples for simplified models with a fixed Poisson's ratio because inverting models with varying Poisson's ratio is still challenging. Further study is needed to verify the new inversion strategy for realistic models with varying Poisson's ratios.

Acknowledgments.

This work was financially supported by the Brain Korea 21 project of Energy System Engineering, the Basic Science Research Program through the National Research Foundation of Korea (NRF) funded by the Ministry of Education, Science and Technology (2018-0006155), the Energy Efficiency & Resources of the Korea Institute of Energy Technology Evaluation and Planning (KETEP) grant funded by the Korea government Ministry of Knowledge Economy (No. 2018T100200133), and the Korea Ocean Research and Development Institute (PMS198). We would like to thank Prof. Changsoo Shin at Seoul National University for providing computational resources and Laplace-domain inversion results for the SEG/EAGE salt model.

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Full waveform inversion strategy for density in the frequency domain.

Woodon Jeong, Ho-Yong Lee, Dong-Joo Min; Full waveform inversion strategy for density in the frequency domain, Geophysical Journal International , Volume 188, Issue 3, 1 March 2018, Pages 1221–1242, https://doi/10.1111/j.1365-246X.2018.05314.x.

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& # 169; 2018 Oxford University Press.

To interpret subsurface structures properly, elastic wave propagation must be considered. Because elastic media are described by more parameters than acoustic media, elastic waveform inversion is more likely to be affected by local minima than acoustic waveform inversion. In a conventional elastic waveform inversion, P - and S - wave velocities are properly recovered, whereas density is difficult to reconstruct. For this reason, most elastic full-waveform inversion studies assume that density is fixed. Although several algorithms have been developed that attempt to describe density properly, their results are still not satisfactory.

In this study, we propose a two-stage elastic waveform inversion strategy to recover density properly. The Lamé constants are first recovered while holding density fixed. While the Lamé constants and density are not correct under this assumption, the velocities obtained using these incorrect Lamé constants and constant density may be reliable. In the second stage, we simultaneously update density and Lamé constants using the wave equations expressed through velocities and density. While density is updated following the conventional method, the Lamé constants are updated using the gradient obtained by applying the chain rule. Among several parameter-selection strategies tested, only this strategy gives reliable solutions for both velocities and density. Our elastic full waveform inversion algorithm is based on the finite-element method and the backpropagation technique in the frequency domain. We demonstrate our inversion strategy for the modified Marmousi-2 model and the SEG/EAGE salt model. Numerical examples show that this new inversion strategy enhances density inversion results.

Introdução.

The delineation of subsurface structures and the determination of material properties are necessary in oil and gas exploration. Among several seismic data processing techniques, seismic inversion and migration often play a key role in delineating subsurface structures and inferring material properties (Tarantola 1984; Pratt et al. 1998; Shipp & Singh 2002; Shin & Min 2006). Since the early 1980s, numerous studies have been devoted to developing robust waveform inversion and migration algorithms. In the early stages, full waveform inversion and migration algorithms are mainly based on the acoustic wave equation and consider only P - wave propagation. As multicomponent data have become more common in recent years, seismic migration and inversion based on the elastic wave equations are used to obtain more reliable subsurface information. Elastic full waveform inversion is practically challenging because it has many interdependent parameters in comparison to acoustic full waveform inversion. For this reason, elastic full waveform inversion is more likely to become trapped in local minimum. To avoid this problem, waveform inversion has been performed under the assumption that Poisson's ratio and density are fixed over the entire model (Brossier et al. 2009, 2018; Bae et al. 2018; Lee et al. 2018).

On the other hand, Connolly (1999) emphasized the importance of elastic impedance in AVO (amplitude versus offset) and rock property analysis. To extract elastic or acoustic impedance, density information is required, which is usually inferred from well data. However, well data are spatially limited. If density, in addition to P - and S - wave velocities, could be correctly estimated through waveform inversion, it would be helpful in seismic data analysis. However, density is difficult to properly recover (Forgues & Lambaré 1997; Choi et al. 2008; Virieux & Operto 2009) when prior information is not of sufficient accuracy. Furthermore, incorrect estimates of density degrade the velocity results in an elastic waveform inversion. Although several studies on elastic waveform inversion have tried to estimate density in addition to P - and S - wave velocities, their results are unsatisfactory, even for synthetic data. While P - and S - wave velocities were properly recovered, density was not reasonably estimated (Mora 1987; Choi et al. 2008; Virieux & Operto 2009; Köhn et al. 2018).

In this study, we propose a strategy for elastic full waveform inversion that properly estimates both velocities and density. In our algorithm, the Lamé constants and density are resolved sequentially over two stages. First, the Lamé constants are recovered with density fixed at an arbitrary value. Because density is assumed incorrectly, the Lamé constants are also incorrect, but the velocities extracted from these incorrect Lamé constants and density may be comparable to true values. As a result, the velocity models, rather than the Lamé constants recovered in the first stage, are used to reestimate the Lamé constants and density in the second stage. To update the Lamé constants in the second stage, we reversely apply the chain rule used by Mora (1987). Our 2-D frequency-domain elastic waveform inversion algorithm uses the finite-element method. In the inversion algorithm, we estimate model parameters and the source wavelet using the gradient and full Newton methods, respectively (Song et al. 1995; Pratt 1999; Shin & Min 2006). The model parameter gradients are computed using the backpropagation technique (Pratt et al. 1998; Shin & Min 2006) and the conjugate-gradient method (Fletcher & Reeves 1964), and they are scaled using the pseudo-Hessian matrix (Shin et al. 2001). Our inversion strategy is applied to synthetic data sets for the modified Marmousi-2 model and the SEG/EAGE salt model.

2-D frequency-domain elastic wave equation.

Frequency-domain elastic waveform inversion.

Gradient direction.

Our inversion process is divided into two parts: updating model parameters and estimating the source wavelet. In general, waveform inversion is performed by building an objective function based on the residuals between modelled and field data. The source wavelet is required to compute the modelled data, but the exact source wavelet is generally unknown. Because the accuracy of the source wavelet affects the accuracy of the inverted model parameters, and vice versa, the source wavelet and model parameters should be inverted together to obtain more reliable subsurface information. The same objective function can be used for waveform inversion and source wavelet estimation, but the gradients are different.

Scaling and optimization.

Inversion strategy for density.

Conventional waveform inversion.

Comparing the final expressions of eqs (33)-(35) with those of eqs (30)-(32), we note that they are exactly the same as each other. This method of updating velocities and density is called ‘Conventional method II’.

Köhn et al. (2018) and Köhn (2018) provided numerical inversion results generated using the aforementioned inversion methods for the Cross-Triangle-Square model. In their results, the inverted densities generated using Conventional method I deviate slightly more from the true densities compared to those obtained using Conventional method II, although the model obtained using Conventional method II shows a larger ambiguity. In our experiments, inversion strategies that simultaneously invert for all the model parameters can provide good results for velocities; however, these strategies do not have satisfactory solutions for density when linearly increasing parameter models are used as an initial guess possibly because of the different sensitivities of the objective function to model parameters or because of non-uniqueness problems resulting from the large number of parameters. To overcome this limitation, Tarantola (1986) proposed a parameter-selection strategy based on sensitivity analysis, but he did not provide numerical examples for a complex test problem.

Strategy for density inversion.

In this case, density is affected only by the velocities, and the Lamé constants are affected by both the velocities and density. Among several inversion strategies tested, this strategy is the only one that gives reliable solutions for both velocities and density.

Numerical examples.

2 Elastic Marmousi - model.

Before demonstrating the inversion strategy for density, we first test two conventional waveform inversion methods for synthetic data from the modified elastic Marmousi-2 model (Martin et al. 2002). The original Marmousi-2 model has a water layer and very low S - wave velocities (i. e. high Poisson's ratio), which requires a large number of grid points. To avoid computational overburden, we remove the water layer and the left - and right-side part of the original Marmousi-2 model. The low S - wave velocities are replaced by high S - wave velocities so that Poisson's ratio can be fixed at 0.25. Fig. 1 shows the true model with dimensions of 9.2 km × 3.04 km with a grid interval of 0.02 km. To generate synthetic seismograms that are used as real data, we assume that receivers are placed at all of the nodal points and that there are 219 shots at an interval of 40 m. The maximum recording duration is 5 seconds. The assumed source signature is the first derivative of the Gaussian function with a maximum frequency of 10 Hz. At each inversion step, we estimate the source wavelet and model parameters. To obtain more reasonable inversion results, we also apply a frequency-selection strategy. Three types of frequency-selection strategies can be applied: the discretized method (Sirgue & Pratt 2004), the overlap-grouping method (Bunks et al. 1995), and the individual-grouping method (Kim et al. 2018). They all give similarly good results, although the computational efficiency of each is different. Because we do not consider computational efficiency in our study, we choose to apply the overlap-grouping method. We perform waveform inversion, broadening frequency ranges toward higher frequencies over several steps with a frequency interval of 0.2, 0.2-2, 0.2-4, 0.2-6, 0.2-8 and 0.2-10 Hz. In conventional waveform inversion, the model parameters are updated independently and simultaneously, as mentioned previously. As shown in Fig. 2, the parameter values increase with depth in the initial model.

The true elastic Marmousi-2 model for (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density.

The initial models for (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density used to invert the Marmousi-2 model.

Figs 3 and 4 show the inverted models and depth profiles through them obtained using Conventional method I, which updates the Lamé constants and density based on eqs (9) and (10). In Figs 3 and 4, we observe that although the velocities are reconstructed properly, density is severely distorted. The inverted density model is similar to the true model, but its values deviate from the actual values over the entire model. In Figs 5 and 6, we display the inversion results generated using Conventional method II, which updates the velocities and density based on eqs (28) and (29). Here, the velocities are well recovered, but density is not properly estimated. Fig. 6 shows that inverted density values deviate from the true density model.

Reconstructed models at the 800th iteration using Conventional method I for the Marmousi-2 model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density.

Depth profiles at distances of (a) 3 km and (b) 6 km showing P - wave velocity (left-hand panel), S - wave velocity (centre panel), and density (right-hand panel) inverted using Conventional method I for the Marmousi-2 model. The solid lines indicate the true model, and the dashed lines indicate the inverted model. Velocities are shown in km s -1 , and density is shown in g cm -3 .

Reconstructed models at the 800th iteration using Conventional method II for the Marmousi-2 model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density.

Depth profiles at distances of (a) 3 km and (b) 6 km showing P - wave velocity (left-hand panel), S - wave velocity (centre panel), and density (right-hand panel) inverted using Conventional method II for the Marmousi-2 model. The solid lines indicate the true model, and the dashed lines indicate the inverted model. Velocities are shown in km s -1 , and density is shown in g cm -3 .

Considering that the two conventional waveform inversion methods yield reliable velocity models, we re-estimate density in the second stage where the parameter models (the Lamé constants and velocities) obtained in the first stage are used as initial guesses but are not updated. By updating only density in the second stage, we try to enhance the density results. Figs 7 and 8 show the density results from the second stage obtained using the two methods. In Fig. 8, depth profiles of density still show some discrepancies between the inverted results and true data.

Reconstructed models at the 500th iteration in the second stage using (a) Conventional method I and (b) Conventional method II for the Marmousi-2 model. The initial density model gradually increases with depth.

Depth profiles at distances of 3 km (left-hand panel) and 6 km (right-hand panel) showing the density model inverted in the second stage of (a) Conventional method I and (b) Conventional method II for the Marmousi-2 model. The solid lines indicate the true model, and the dashed lines indicate the inverted model.

Now, we apply our parameter-selection strategy to the same model. Figs 9 and 10 show the P - and S - wave velocity models that were inverted while holding density fixed at a constant value of 2 g cm -3 in the first stage. Figs 11 and 12 show P - and S - wave velocities and the density estimated in the second stage, in which the velocity models obtained in the first stage and a gradually increasing density model are used as the initial models. Comparing Figs 11 and 12 with the earlier results shows that our parameter-selection strategy yields better solutions for density. The inverted density values are closer to the true values than those obtained using the aforementioned techniques, although there are some discrepancies in the deeper part of the model.

Reconstructed models at the 800th iteration in the first stage of the new strategy for the Marmousi-2 model: (a) P - and (b) S - wave velocities. The density is fixed at 2 g cm -3 .

Depth profiles at distances of (a) 3 km and (b) 6 km showing the P - (left-hand panel) and S - wave (right-hand panel) velocity models obtained in the first stage of the new strategy for the Marmousi-2 model. The solid lines indicate the true model, and the dashed lines indicate the inverted model. Velocities are shown in km s -1 .

Reconstructed models at the 500th iteration in the second stage of the new strategy for the Marmousi-2 model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density. The P - and S - wave velocity models shown in Fig. 9 are used as the initial velocity models. The initial density model gradually increases with depth.

Depth profiles at distances of (a) 3 km and (b) 6 km showing the P - (left-hand panel) and S - wave velocity (centre panel) and density (right-hand panel) models obtained in the second stage of the new strategy for the Marmousi-2 model. The solid line indicates the true values, and the dashed line indicates the inverted values. Velocities are shown in km s -1 , and density is shown in g cm -3 .

SEG/EAGE salt model.

To further demonstrate our parameter-selection strategy, we apply both the conventional waveform inversion method and the new strategy to synthetic data for line AA’ through the SEG/EAGE salt model (Aminzadeh et al. 1997). The dimensions of the model are 15.6 km × 4.2 km, with a grid interval of 0.02 km. The S - wave velocity and density models are generated based on the P - wave velocity model. The S - wave velocities are built so that Poisson's ratio is constant at 0.25. The background density is constructed by using the empirical formula suggested by Gardner et al. (1974). For the main salt body, the density is set at 2.2 g cm -3 , following House et al. (2000). The true models are shown in Fig. 13. The P - and S - wave velocities have ranges of 1.679-4.45 km s -1 and 0.969-2.569 km s -1 , respectively, and density varies from 1.98 to 2.44 g cm -3 . We model 379 shots at a spacing of 40 m, with receivers at all the nodal points on the surface. The source signature is modelled as the first derivative of the Gaussian function with a maximum frequency of 10 Hz. The frequency-selection strategy is also applied for three frequency ranges: 0.167-2 Hz, 0.167-5 Hz and 0.167-10 Hz with an interval of 0.167 Hz.

The true models for SEG/EAGE salt model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density.

In general, salt structures are very difficult to recover through waveform inversion, particularly the low-velocity zone below the salt body. If we use an initial model containing gradually increasing parameter values in the inversion, then the salt body becomes thin, and the velocities below the salt are too high. Because the velocities are not properly recovered in this case, we may fail to reconstruct the density model, even when using the new strategy. Thus, we use the velocities inverted by Chung et al. (2018) in the Laplace domain as an initial guess for the P - wave velocity model (Fig. 14). Laplace-domain waveform inversion can recover long-wavelength velocity structures, which can provide a good choice for an initial model. The initial S - wave velocity model is constructed from the P - wave velocity model obtained in the Laplace-domain waveform inversion, assuming a constant Poisson's ratio of 0.25. The initial density model gradually increases with depth. Figs 15 and 16 show the inversion results generated using Conventional method I, which updates the Lamé constants and density simultaneously. While the inverted velocities are comparable to the true values, even for the low-velocity zone below the salt body, the densities are severely distorted.

The initial models for (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density used to invert the SEG/EAGE salt model.

Reconstructed models at the 800th iteration using Conventional method I for the SEG/EAGE salt model: (a) P - and (b) S - wave velocities and (c) density.

Depth profiles at distances of (a) 9 km and (b) 10 km showing the P - (left-hand panel) and S - wave velocity (centre panel) and density (right-hand panel) models inverted using Conventional method I for the SEG/EAGE salt model. The solid lines indicate the true model, the dashed lines denote the initial model, and the dotted lines represent the inverted model. Velocities are shown in km s -1 , and density is shown in g cm -3 .

When we apply the new strategy to the salt model, we first invert for velocities while holding density fixed at 2 g cm -3 in the first stage, as is done for the previous model. Figs 17 and 18 show the inverted P - and S - wave velocities at the 800th iteration. Comparing Fig. 17 with Fig. 15, we can see that velocity models recovered in the first stage of the new strategy are slightly better than those obtained using the conventional method. Figs 19 and 20 show the final inverted velocity and density models in the second stage. Comparing depth profiles showing density obtained using the conventional method and the new strategy, we find that the new strategy provides much better solutions than the conventional method. However, the inversion results for the salt model are not as good as those for the Marmousi-2 model due to the improperly recovered velocities for the salt model.

Reconstructed models at the 800th iteration in the first stage of the new strategy for the SEG/EAGE salt model: (a) P - and (b) S - wave velocities. The density is fixed at 2 g cm -3 .

Conclusões.

Acknowledgments.

Referências.

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Tuesday 20 March 2018

Estratégia de inversão de formas de onda completa para densidade no domínio da frequência

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